列主元消去法

列主元素消去法是为控制舍入误差而提出来的一种算法，列主元素消去法计算基本上能控制舍入误差的影响，其基本思想是：在进行第 k(k=1,2,…,n-1)步消元时，从第k列的 akk及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素akk的位置上，再进行消元。

优点

高斯消去法从第k步到第k+1步的消元过程，**必须满足条件a(kk)不等于零 （kk指下标）。而这个元素 即被称为第k步的主元(素)。**显然，高斯消去法是按方程排列的自然顺序产生主元的，这样，一旦出现 计算就归于失败， 而且即使a(kk)不等于零 （kk指下标） ，但若其绝对值很小，也将会因用它作除数，引起其他元素的数量级及舍人误差急剧增大，导致最终计算结果不可靠。为了避免在高斯消去法应用中可能出现的这类问题，就发展形成了列主元、全主元等多种消去法。这些方法的基本点在于对高斯消去法的过程作某些技术性修改，全面或局部地选取绝对值最大的元素为主元素，从而构成了相应的主元(素)消去法。列主元(素)消去法以处理简单、相对计算量小的特点，在各类主元消去法中得到最为广泛的应用。

基本思想

列主元消去法的基本思想是： 在进行第k(k=0,1,2,3-----n-1) 步消元时，从第k列的 akk (kk是下标) 及其以下的各元素中选取绝对值最大的元素，然后通过行变换将它交换到主元素 akk (kk是下标) 的位置上，再进行消元。

过程

算法

MATLAB程序

function z= Gausselimpiv (A,b, ep)

[m，n]=size(A);

if m~=n

disp(’输入错误，系数矩证阵只能是方阵')

end

if n~=length (b)

disp('输入错误，常数项的个数应与方程的个数相同')

end

if nargin==2

ep= eps ;

end

for k=1:n-1

p=A(k,k);I=k;

for i=k:n

if abs (A (i, k)) > abs (p)

end

end

if p<=ep

z=0;

end

if I~=k

for j= k:n

w=A(k,j);A(k,j)=A(I,j);A(I,j)=w;

end

u=b(k);b(k)=b(I);b(I)=u;

end

for i= k+1:n

A(i,k)=A(i,k)/A(k,k);

b(i)=b(i)-A(i,k) b(k);

forj=k+1:n

A(i,j)=A(i,j)-A(i,k) A(k,j);

end

end

end

b(n)=b(n)/A(n,n);

fori=(n-1):-1:1

w=0;

forj=(i+1}:n

w=w+A(i,j) b(j);

end

b(i)=(b(i)-w)/A(i,i);

end

z=b; [3]

例题