函数：用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常表示为r为自变量θ的函数。

对称：极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ) = r（θ），则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果r(π−θ) = r(θ)，则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果r(θ−α) = r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

圆

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方程為

r

(

θ

)

=

1

{\displaystyle r(\theta )=1}

的圓。

在极坐标系中，圆心在（r0,

φ

{\displaystyle \varphi }

）半径为a的圆的一般方程为

r

2

−

2

r

r

0

cos

⁡

(

θ

−

φ

)

+

r

0

2

=

a

2

{\displaystyle r^{2}-2rr_{0}\cos(\theta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}}

特定情况：比如方程

r

(

θ

)

=

a

{\displaystyle r(\theta )=a}

表示一个以极点为中心半径为a的圆。[10]

推导

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设圆的半径为

r

{\displaystyle r}

，圆心的极坐标为

(

p

0

,

α

)

{\displaystyle (p_{0},\alpha )}

，并變換为直角坐标：

(

p

0

cos

⁡

α

,

p

0

sin

⁡

α

)

{\displaystyle (p_{0}\cos \alpha ,p_{0}\sin \alpha )}

。则圆上的点的直角坐标系方程为：

(

x

−

p

0

cos

⁡

α

)

2

+

(

y

−

p

0

sin

⁡

α

)

2

=

r

2

{\displaystyle (x-p_{0}\cos \alpha )^{2}+(y-p_{0}\sin \alpha )^{2}=r^{2}}

设圆上的点的极坐标为

(

p

,

β

)

{\displaystyle (p,\beta )}

，则

x

=

p

cos

⁡

β

,

y

=

p

sin

⁡

β

{\displaystyle x=p\cos \beta ,\qquad y=p\sin \beta }

因此，

p

2

−

2

p

p

0

(

sin

⁡

β

sin

⁡

α

+

cos

⁡

β

cos

⁡

α

)

+

p

0

2

=

r

2

{\displaystyle p^{2}-2pp_{0}(\sin \beta \sin \alpha +\cos \beta \cos \alpha )+p_{0}^{2}=r^{2}}

，

化简为

p

2

+

p

0

2

−

2

p

p

0

cos

⁡

(

β

−

α

)

=

r

2

{\displaystyle p^{2}+p_{0}^{2}-2pp_{0}\cos(\beta -\alpha )=r^{2}}

直线

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过极点的射线方程：

θ

=

φ

{\displaystyle \theta =\varphi }

,

其中φ为射线的倾斜角。若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ = arctan m。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。[11] 这些在点（r0, φ）处的直线与射线θ = φ垂直，其方程为

r

(

θ

)

=

r

0

sec

⁡

(

θ

−

φ

)

{\displaystyle r(\theta )={r_{0}}\sec(\theta -\varphi )}

.

玫瑰线

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一条方程为r(θ) = 2 sin 4θ的玫瑰线。

极坐标的玫瑰线（polar rose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程来描述，方程如下：

r

(

θ

)

=

a

cos

⁡

k

θ

{\displaystyle r(\theta )=a\cos k\theta }

或者

r

(

θ

)

=

a

sin

⁡

k

θ

{\displaystyle r(\theta )=a\sin k\theta }

如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。

阿基米德螺线

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方程r(θ) = θ（0<θ<6π）的一条阿基米德螺线。

阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：

r

(

θ

)

=

a

+

b

θ

{\displaystyle r(\theta )=a+b\theta }

改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转

90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。

圆锥曲线

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橢圓，展示了半正焦弦

圆锥曲线方程如下：

r

=

ℓ

(

1

−

e

cos

⁡

θ

)

{\displaystyle r={\ell \over (1-e\cos \theta )}}

其中

ℓ

{\displaystyle \ell }

表示半正焦弦，e表示离心率。

如果e < 1，曲线为椭圆，如果e = 1，曲线为抛物线，如果e > 1，则表示双曲线。

r

=

e

p

(

1

−

e

cos

⁡

θ

)

{\displaystyle r={ep \over (1-e\cos \theta )}}

其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。

其他曲线

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由于坐标系统是基于圆环的，所以许多有关曲线的方程，极坐标要比直角坐标系（笛卡尔形式）简单得多。比如伯努利雙紐線，蚶線（limaçon），还有心臟線。